40人いれば「同じ誕生日」の人がいる？数学で検証！｜誕生日のパラドックス

「クラスに40人いれば、同じ誕生日の人がいる確率はとても高い」
そんな話を聞いたことはありませんか？

実はこれ、「誕生日のパラドックス」と呼ばれる有名な数学の話題なんです。
しかも、その確率はなんと90％近く！

今日は、小学生でもわかる直感的な計算から、
大学生レベルの厳密な数学まで、段階的にこの現象を読み解いていきましょう！

結論：40人いれば「同じ誕生日」の人がいる確率は約89%！

そう、かなりの高確率で同じ誕生日のペアが存在します。
思っているよりずっと「かぶる確率」は高いんですね。

① 小中学生でもわかる！ざっくり計算

まず考えてみましょう。1年には365日ありますよね。では、クラスに2人しかいなかったら？

1人目の誕生日は何でもOK。次の人が1人目と違う誕生日である確率は「364/365」です。

じゃあ、3人目が2人とも違う誕生日になるには…「363/365」です。

このように、1人ずつ増えるたびに「前の人たちとかぶらない確率」が減っていきます。

• 2人目：364/365（1人目と違う）
• 3人目：363/365（前の2人と違う）
• 4人目：362/365（前の3人と違う）
• …
• 40人目：326/365

この全部をかけていくと、

「誰ともかぶらない確率」 ≒ 0.109

ということは、

「誰かとかぶっている確率」 ≒ 1 – 0.109 = 約89.1%

なんと9割近くの確率で「同じ誕生日の人がいる」という結果になるのです！

これは直感とはかなり違う結果なので、「パラドックス（逆説）」と呼ばれているのですね。

② 高校数学（中級）での近似計算

かぶらない確率はこう近似できます：

P(一致なし) ≈ e^{-n(n-1)/(2×365)}

n=40の場合：

e^{-40×39/730} ≈ e^{-2.137} ≈ 0.118 → 一致する確率 ≈ 1 - 0.118 = 約88.2%

③ 高校数学の応用（対数展開）

厳密にはこう：

P(n) = (365!)/((365-n)! × 365^n)

これを対数にして展開：

log P(n) ≈ -n(n-1)/(2×365)

⇒ 高校数学の指数近似は理論的に正当だった！

④ 大学生数学（解析・確率論）での理解

• マクローリン展開でlog(1 – x)を展開
• ポアソン分布で衝突の期待値を導出
• 暗号学でも「バースデー攻撃」として応用

ポアソンのλ = n(n-1)/(2×365)とすると：

P(一致なし) ≈ e^{-λ} → 一致する確率 ≈ 1 - e^{-λ}

まとめ：レベル別に振り返ってみよう

レベル	アプローチ	一致確率
① 小中学生	かけ算でざっくり	約89.1%
② 高校数学	指数関数で近似	約88.2%
③ 高校数学（理論）	対数展開	約88〜89%
④ 大学生数学	解析・ポアソン・応用	理論的に正確

最後に：学びの出発点は「おもしろそう」から

このように、同じ問題でも、小・中・高・大とさまざまな方法で考えることができます。

最初は「へえ〜そうなんだ！」という驚きや興味からで十分です。
そこから「なぜ？」「どうして？」と深掘りしていくうちに、学びの意欲や思考力が自然と育っていきます。

身近な話題から始める数学の世界、ぜひあなたも一歩踏み込んでみてください。

（執筆：千尋進学塾　桑名駅前校　理系担当監修）