【高校数学】東大模試に出た「因数分解の罠」 1次式では割れない4次式をどう料理する？

高校数学の学習指導をしていると、時折「見た目が素直なのに全然割れない方程式」と出会います。
今回ご紹介するのは、東大模試で出題された次の4次式です。

P(x) = x⁴ + 9x³ + 16x² − x − 3

見た瞬間、「あっ、(x − a)(3次式)かな？」と考えるのは自然な反応です。
ところが、これがなかなか手ごわい。整数の解が全く見つからないのです。

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Step1：因数定理で“入口調査”

まずは因数定理を使って、1次式の因数があるかどうかを調べます。

1次式 (x − a) が因数になるのは、P(a) = 0 となるときだけです。

代表的な整数を代入して計算してみます。

P(1) = 1 + 9 + 16 − 1 − 3 = 22
P(−1) = 1 − 9 + 16 + 1 − 3 = 6
P(3) = 81 + 243 + 144 − 3 − 3 = 462

いずれも 0 にはなりません。つまり、1次式では割れないタイプです。

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Step2：2次式 × 2次式を大胆に仮定する

1次式がダメなら、次に考えられるのは

(x² + p x + q)(x² + r x + s)

という「2次式 × 2次式」の形です。

この形を展開すると、

x⁴ + (p + r)x³ + (pr + q + s)x² + (ps + qr)x + qs

元の式と係数を比較すると、次の4つの関係式が得られます。

• p + r = 9
• pr + q + s = 16
• ps + qr = −1
• qs = −3

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Step3：定数項「−3」から一気に絞り込む

qs = −3 を満たす整数の組は次の4通りです。

q	s
1	−3
−1	3
3	−1
−3	1

この中から、他の条件も満たす組を探します。

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Step4：最終的に当たりを引くのはコレ

試行していくと、q = −1, s = 3 のときに全てが整合します。

このとき、残りの連立から

p = 2, r = 7

が求まります。

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最終結果：これが東大模試の答え

以上より、因数分解は次のように完成します。

(x² + 2x − 1)(x² + 7x + 3)

これは元の式と完全に一致します。

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生徒に伝えたいポイント（教室長の視点）

• 整数解がない＝1次式で割れないと気づくのがポイント
• 「2次式×2次式」へ発想を切り替える柔軟性が大切
• 定数項から組を絞るのは、昔ながらの王道の手法
• 東大模試では奇抜さよりも丁寧な論理が問われる

数学は、手順の切り替えが得点を大きく変えます。
千尋進学塾でも、この手の「一見シンプルなのに奥が深い問題」は授業で頻繁に扱います。

落ち着いて手順を踏めば、必ず突破口が開けます。